Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и -1 на всей области определения.
В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из 2^n {\displaystyle 2^{n}}22цув элементов. Группа из {\displaystyle 2^{n}}2^n функций Уолша образует матрицу Адамара.
Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.
Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.
Обобщением функций Уолша на случай более чем двух значений являются функции функции Виленкина - Крестенсона.
М-последовательности. Способ формирования и свойства М-последовательностей. Применение М-последовательностей в системах связи
В настоящее время среди бинарных кодовых последовательностей большой длины наибольшее распространение получили М-последовательности, последовательности Лежандра, кодовые последовательности Голда и Кассами, кодовые последовательности Уолша, нелинейные кодовые последовательностей.
Преимущества М-последовательностей большой длины заключается в уменьшении уровня периодических боковых лепестков функции неопределенности М- последовательностей с ростом ее длины L . Максимальный уровень периодического бокового лепестка ВКФ М-последовательности обратно пропорционален длине последовательности (1/L).
M-последовательности
Выше было упомянуто, что оптимальными для расширения спектра сигнала являются последовательности максимальной длины или М-последовательностями. Такие последовательности формируются с помощью цифровых автоматов, основным элементом которых является сдвигающий регистр с ячейками памяти Т1 , Т2 , …, Т k (рисунок 2).
Рисунок 2 – Цифровой автомат формирования М-последовательности
Тактовые импульсы поступают на все ячейки одновременно с периодом , передвигая за один такт хранящиеся в этих ячейках символы в соседние справа ячейки. Обозначим буквами символы, хранящиеся в соответствующих ячейках на -ом такте. - символ на входе первой ячейки; значение этого символа формируется с помощью линейного рекуррентного соотношения
В соответствии с значение символа в ячейке с номером умножается на коэффициент и складывается с остальными аналогичными произведениями. Как символы , так и коэффициенты могут иметь значения 0 или 1; операции суммирования при этом выполняются по модулю 2. Если коэффициент , то символ ячейки в формировании значения суммы не участвует.
Если принять содержание ячеек регистра сдвига за исходное состояние, то через тактов это состояние вновь будет иметь место. Если при этом регистрировать последовательность символов -той ячейки, то длина этой последовательности будет равна . На последующих тактах эта последовательность вновь повторится и т.д. Число называется периодом последовательности. Значение при фиксированной длине регистра сдвига зависит от числа и расположения отводов. Для каждого значения можно указать число отводов и их положения, при которых период получаемой последовательности оказывается максимальным. В качестве исходного можно взять любое состояние регистра сдвига (кроме нулевой комбинации); изменение исходного состояния вызовет лишь сдвиг последовательности. Последовательности с максимально возможным периодом при фиксированной длине регистра называются М-последовательностями. Их период (длина) .
Структурную схему автомата, формирующего М-последовательности, принято задавать характеристическим многочленом:
в котором всегда , . В табл. 1 для указаны наборы значений коэффициентов этого полинома, определяющих последовательности максимальной длины. Знание вектора 
позволяет однозначно указать структуру цифрового автомата, формирующего соответствующую полиному (1.16) М-последовательность:
– если , то выход ячейки с номером регистра сдвига подключен к сумматору по модулю 2;
– если , то выход ячейки с номером регистра сдвига не подключен к сумматору по модулю 2. (длинный код для скремблирования и идентификации подвижных станций)
В системе IS95c (CDMA-2000-1x) используется технология
множественного доступа с кодовым разделением (см ПСП и характеристики), благодоря применения этой технологии способ адресации каналов, мобильных и базовый станций в системе реализуется так же с применением кодов особым образом. Для объяснения принципов реализованных в данной системе в данном разделе сперва будут объяснены некоторые технические понятия, а после этого будут подробно рассмотрены вопросы адресации.
Конфигурация радиоканала
Конфигурация радиоканала (Radio configuration - RC) определяет конфигурацию физических каналов, базирующуюся на удельной скорости передачи данных. Каждая RC определяет набор скоростей данных, в основе которых лежат скорости 9.6 или 14.4 кбит/с. Они - две существующих скорости передачи данных, поддерживаемые IS95c. Каждая RC также определяет ширину спектра (sprading rate SR1) и тип кодирования. В настоящее время есть пять конфигураций радиоканала, определенных в cdma2000-1x для прямого канала, и три для обратного.
Spreading Rate: чиповая скорость (скорость следования элементарных сигналов псевдослучайной последовательности) прямого или обратного канала.IS95c использует SR1 (Spreading Rate 1) : То же самое, что и “1XRTT.” Прямой и обратный канал CDMA использует прямое расширение спектра псевдослучайной последовательностью c чиповой скорости 1.2288 МГц.
RC2 -конфигурация, базирующаяся на скорости 14.4 кбит/с также поддерживаются скорости 9.6, 4.8, 2.4 и 1.5 кбит/с для голоса работает в SR1 n=9 R=1/2.
RC3 -конфигурация, базирующаяся на скорости 9.6 кбит/с также поддерживаются скорости 4.8, 2.7, и 1.5 кбит/с для голоса, в то время как для данных применяются потоки с конфигурациями канализирующего кода - поддерживая скорости 19.2, 38.4, 76.8, и 153.6 кбит/с и работает в SR1 и использует канальное кодирование с параметрами n=9 R=1/2.
RC4 -конфигурация для передачи данных применяются потоки с изменением канализирующего кода - поддерживая скорости 9.6, 19.2, 38.4, 76.8, 153.6 и 307.2 кбит/с и работает в SR1 и использует турбо-коды.
RC5 - используется только для передачи данных применяются потоки с конфигурациями канализирующего кода - поддерживая скорости 14.4, 28.8, 57.6, 115.2 и 230.4 работает в SR1 использует спец. кодирование и благодаря стандартизованному ряду скоростей является наиболее предпочтительной конфигурацией для передачи данных.
| Radio configuration | Конфигурация к.к. |
Скоростная формула,кбит/с |
сверт. код |
||
сверт. код |
||
сверт. код |
||
турбо-коды |
||
спец. кодирование |
Таблица 1. Список конфигураций радиоканала в прямом направлении.
Так же конфигурация RC определяет режим работы радиопередаюшего тракта, например режим RC3 использует новый метод модуляции см. рис 1,а режим RC1 является полностью совместимым с ССС IS95a см. рис 1 .
Рис. 1. Модулятор используемый при конфигурации радиоканала RC3
В данном разделе мы будем рассматривать систему в режиме RC1.
Коды используемые в системе IS-95c.
В ССМС используется три типа кодов короткая и длинные м-последова- тельности и коды уолша.
Короткая ПСП
Коротка псп представляет из себя две псевдослучайные скремблирующие последовательности ПСП - I и ПСП - Q (символы I и Q отвечают физическому назначению и обозначают синфазную и квадратурную составляющим в модуляторе). Период каждой из названных ПСП содержит 215 чипов, частота следования которых согласно стандарту составляет 1,2288 Мчип / с. Прямой подсчет показывает, что на одном двухсекундном отрезке умещается в точности 75 периодов коротких ПСП . Структурно короткие ПСП представляют собой М - последовательности длины
N = 2 -1 с характеристическими полиномами
f i = x 15 + х 13 + х 9 + х 8 + х 7 + х 5 +1 и
f Q = X 15 + X 12 + X 11 + X 10 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 +1,
расширенные добавлением нулевого символа к цепочке из 14 последовательных нулей на каждом периоде .
Длинная ПСП
Символы длинной ПСП имеют частоту следования 1,2288 Мчип/с. Формирование длинной ПСП осуществляется с помощью полинома
f ( x ) = х 42 + х 35 + х 33 + х 31 + х 27 + х 26 + х 25 + х 22 + х 21 + х 19 + + X 18 + X 17 + X 16 + X 10 + X 7 + X 6 + X 5 + X 3 + X 2 + X + 1.
Коды Уолша
Коды Уолша использованые в системе ообозначаются как: W n N , где N - длина кода, n - ряд в матрице Уолша-Адамара. Эта матрица строится итерационным алгоритмом (см. Рис 2.). На каждой итерации любое кодовое слово, полученное на предедущем шаге, преобразуется в два новых удвоением длинны путем двухкратного повторения в одном слове и повторения с изменением знака в другом. Так если C k , некое слово, полученное на к-ом шаге его "потомками" на k+1-м шаге будут слова вида (C k ,C k),(C k ,-C k), таким образом стартуя с тривиального слова длины 1, равного 1, за k итераций можно получить 2 k кодовых векторов длины N=2 k ортогональность которых очевидна (см. Рис 2.).
Рис.2 Дерево канализирующих кодов.
Используя указанный метод, можно создать код Уолша, размерность которого равна 2
k
х 2
k (k -
положительное целое число). Набор кодов Уолша характеризуется матрицей 64 x 64(RC1) или 128 х 128(RC3), где каждая строка соответствует отдельному коду. Поскольку элементы набора кодов Уолша взаимно ортогональны, их применение позволяет разделить прямой канал связи на 64(RC1) или 128(RC3) ортогональных сигналов.
Адресация в прямом канале
Рис. 3. Структурная схема канала в прямом направлении
Адресация каналов.
Прямой канал cdma2000-1x для сохрания совместимости с IS95a, использует ту же самую структура для пилот-сигнала в прямом канале (F-Pilot), канала синхронизации (F-Sync) и сигнализации (F-Paging).
Так же в CDMA2000-1x каждому пользователю назначен свой прямой канал трафика (F-Traffic), в который могут входить:
Восемь дополнительных каналов (F-SCCHs) для RC1 и RC2;
Три дополнительных канала (F-SCHs) для RC3 к RC9;
Два выделенных канала управления (F-DCCHs);
F-FCHs используются для передачи голоса, F-SCCHs , и F-SCHs используются для передачи данных. Базовая приемопередающая станция может также послать нулевой или первый F-DCCHs . F-DCCH связан с каналами трафика (или с FCH и SCH , или с SCCH) и может содержать данные сигнализации и данные регулирования мощности излучения.
В данном пособии рассмотрим подробнее основные каналы:
пилотный канал (f-pilot channel);
канал синхронизации (f-synchronization channel);
канал персонального вызова (f-paging channel );
канал прямого трафика (forward traffic channel).
В режиме RC1 отображение логических каналов на физические в прямом направлении осуществляется с помощью системы ортогональных функций Уолша длины 64: w i , i
= 0,1,..., 63, где i - номер функции Уолша. Стандартом CDMA-2000 предусматривается организация одного пилотного канала, одного канала синхронизации, от одного до семи каналов вызова (в зависимости от абонентской нагрузки на БС) и от 55 до 62 каналов прямого трафика, поскольку часть каналов вызова допускается использовать в качестве каналов трафика. Соответствие между логическими и физическими каналами показано на рис. 4.
Рис. 5. Структура прямого канала ССМС стандарта CDMA-2000-1х
В режиме RC3 отображение логических канал на физические осуществляется так же как и в RC1 с той лишь разницей, что благодаря применению квадратурной фазовой модуляции количество применяемых кодов Уолша увеличено с 64 до 128 - соответсвенно количество возможных адрресуемых каналов увеличено в двое по сравнению с режимом RC1.
1. Пилотный канал
Согласно рис. 5 пилотному каналу присвоена нулевая функция Уолша w 0 , т. е. последовательность из одних нулей.
2. Канал синхронизации
После блокового перемежителя поток данных подвергается прямому расширению спектра путем сложения по модулю 2 с присвоенной каналу синхронизации функцией Уолша w 32 .
3. Канал персонального вызова
После скремблирования децимированной длинной ПСП периода 2 42-1 , поток данных подвергается расширению спектра так же, как это делалось для уже рассмотренных каналов: суммируется по модулю два с отведенной каналу функцией Уолша из набора W 1 - W 7 . Далее следует объединение с остальными каналами (входы Р 1 - Р 7 на рис. 2), а затем (в модуляторе) перемножение с комплексной короткой ПСП и перенос на несущую.
4. Канал прямого трафика
В качестве канальной поднесуще используется одна из последовательностей Уолша w 8 + w 31 и w 33 + w 63 с чиповой скоростью 1,2288 Мчип / с, причем номер последовательности Уолша однозначно определяет номер канала прямого трафика.
Адрессация базовых станций.
Пара ПСП - I и ПСП - Q или, что эквивалентно, комплексная ПСП. Данная комплексная короткая ПСП одинакова для всех 64 CDMA - каналов и используется всеми БС системы, но с разными циклическими сдвигами. Разница в циклических сдвигах позволяет МС разделять сигналы, излучаемые БС разных сот или секторов, т. е. позволяет идентифицировать номер БС либо сектора. Для различных БС сдвиг изменяется с постоянным шагом, равным 64 чип х PILOT _ INC , где системный параметр PILOT _ INC принимает значения от 1 до 4 . Таким образом, при минимальном шаге доступны 2 15 /2 6 =2 9 =512 сдвигов коротких ПСП, т. е. возможно бесконфликтное существование сети, состоящей из 512 БС. Если же необходимо, чтобы сеть состояла из большего числа БС, то при территориальном планировании сети легко можно добиться, чтобы БС с одинаковыми циклическими сдвигами коротких ПСП не могли одновременно находиться в зоне радиовидимости МС.
С другой стороны, шаг сдвига ПСП однозначно определяет размер соты (или сектора), при котором МС с гарантией различает ПСП, имеющие минимальный временной сдвиг. Нетрудно убедиться, что при минимальном сдвиге в 64 чипа радиус соты составит порядка 15,5 км.
Адресация в обратном канале
В обратном канале (линии "вверх")
Канал доступа {access channel);
Канал обратного трафика (reverse traffic channel).
Асинхронность кодового разделения делает нерациональным применение функций Уолша в роли каналообразующих последовательностей (сигнатур) физических каналов, так как при относительных временных сдвигах они не могут сохранять ортогональность и имеют весьма непривлекательные взаимные корреляционные свойства. Поэтому за разделение каналов в линии "вверх" отвечают различные циклические сдвиги длинной ПСП периода 2 42 -1. Функции Уолша в обратном канале также используются, но в ином качестве: для организации еще одной ступени помехоустойчивого кодирования данных, передаваемых МС.
Общая структура обратного канала связи системы IS-95с иллюстрируется на рис. 6. Каналы доступа и обратного трафика, которые используются МС, ассоциированы с определенными каналами персонального вызова. В результате на один канал персонального вызова может приходиться до n = 32 каналов доcтупа и до т = 64 каналов обратного трафика.
Рис. 6. Структура обратного канала ССМС стандарта IS-95c
1. Канал доступа
Канал доступа обеспечивает соединение МС с БС, пока МС не настроилась на назначенный ей канал обратного трафика. Процесс выбора канала доступа случаен - МС произвольно выбирает номер канала из диапазона O...ACC_CHAN, где ACC_CHAN - параметр, передаваемый БС в сообщении о параметрах доступа. Ортогональный модулятор осуществляет отображение (кодирование) групп из 6 двоичных символов в некоторую функцию Уолша длины 64. Подобная операция представляет собой кодирование 6-битовых блоков (64,6) ортогональным кодом. При оптимальном ("мягком") декодировании энергетический выигрыш от использования такого кода асимптотически стремится к 4,8 дБ (45]. В то же время во многих источниках рассматриваемую процедуру именуют ортогональной модуляцией или Уолш-модуляцией . Замена 6 символьной группы на функцию Уолша производится по следующему правилу: десятичное значение 6 разрядного двоичного числа, соответствующего группе из 6 бит, однозначно определяет номер функции Уолша. Например, если на вход ортогонального модулятора подается группа из 6 символов вида (010110), то ей соответствует десятичное значение 22, а значит, эта группа заменяется модулятором на функцию Уолша w 22 , состоящую из 64 символов. В результате ортогональной модуляции скорость данных возрастает до
Поток ортогонально модулированных данных подвергается прямому расширению спектра с помощью длинной ПСП с определенным циклическим сдвигом, однозначно определяющим данную МС, что позволяет идентифицировать ее на БС, а значит, осуществить кодовое разделение абонентов. Циклический сдвиг длинной ПСП определяется маской генератора длиной 42 бита, которая конструируется из идентификатора БС, номеров канала вызова и доступа.После расширения спектра (суммирования по модулю 2 с длинной ПСП и преобразования булевых символов в двуполярные) поток, следующий со скоростью чипов, т.е. 1,2288 Мчип/с, поступает в квадратурные каналы фазового модулятора, где подвергается скремблированию двумя короткими ПСП (ПСП-I и ПСП-Q) периода 2 15 . Все МС данной соты используют один и тот же сдвиг короткой ПСП. Поскольку в обратном канале применяется квадратурная ФМ со сдвигом (OQPSK), в плече Q модулятора введен элемент задержки на половину длительности чипа. Применение OQPSK уменьшает глубину нежелательных провалов огибающей сигнала, а значит, сокращает требуемый линейный динамический диапазон усилителя мощности передатчика МС.
М. Ю. Васильева, Ф. В. Коннов, И. И. Исмагилов
ИССЛЕДОВАНИЕ НОВЫХ УПОРЯДОЧЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ФУНКЦИЙ УОЛША
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
Ключевые слова: дискретные функций Уолша, разностно-упорядоченная система, обработка и передача данных,
автоматизированные системы управления.
Предлагается новый метод упорядочения систем дискретных функций Уолша, представлены свойства новых упорядочений, рассмотрена возможность применения синтезированных упорядочений дискретных функций Уолша в автоматизированных системах управления.
Keywords: discrete Walsh functions, difference-ordered system, processing and transfer data, automated control systems.
A new method of ordering systems of discrete Walsh functions, shows the properties of new orderings, possibility of application of the synthesized discrete orderings of Walsh functions in automatic control systems.
Введение
Повсеместное развитие информационных сетей и систем, включая автоматизированные системы управления (АСУ) различных уровней, вычислительные сети, системы автоматизированного проектирования, сбора и обработки данных, автоматизации эксперимента, массового
обслуживания, телеметрические комплексы, информационно-справочные системы, сети связи и др., привело к существенному росту информационных потоков между территориально распределенными источниками и получателями сообщений и хранению все возрастающих объемов информации различного вида в базах данных . Для повышения эффективности использования коммуникационных и информационно-вычислительных ресурсов указанных систем применяются различные методы и средства .
Среди них весьма важную роль играют методы сокращения избыточности данных, обеспечивающие сжатие объемов передаваемой или запоминаемой информации. Это позволяет значительно разгрузить каналы связи и системы обработки и хранения данных за счет исключения ненужных или дублирующихся сведений, что эквивалентно повышению пропускных способностей систем сбора, передачи и обработки данных или увеличению емкости запоминающих устройств.
Среди существующих методов сокращения избыточности данных особое место занимают методы сжатия, применяющие различные математические преобразования. Наиболее часто применяемыми при сокращении и передаче данных в автоматизированных системах управления производством и технологическими процессами являются
преобразования Фурье, Уолша и Хаара . Каждое из которых обладает рядом преимуществ, например, применение преобразований Уолша и Хаара позволяет значительно упростить и ускорить обработку информации.
Широкое использование ряда преобразований в прикладных задачах, заключается в возможности их вычисления посредством быстрых алгоритмов, которые обладают существенно меньшей
вычислительной сложностью по сравнению с классическими алгоритмами преобразований .
В статье рассматривается комплекс вопросов, связанных с применением преобразований Уолша: приводится построение новых упорядочений функций Уолша, исследование их свойств, рассматривается применение функций Уолша при выполнении преобразований.
Краткий обзор дискретных функций Уолша и их упорядочений
Ортонормированная, полная система прямоугольных функций была введена Уолшом. В отличие от тригонометрических гармоник, по которым функция раскладывается в классический ряд Фурье, функции Уолша представляют собой прямоугольные волны, которые во многих задачах обработки сигналов предпочтительнее
синусоидальных волн. В большей степени это связано с простым видом функций Уолша, каждая из которых принимает всего два значения (+1 и -1), что намного упрощает их реализации на ЭВМ.
Дискретные преобразования Уолша (ДПУ) основываются на дискретных функциях Уолша (ДФУ), которые образуются равномерными выборками непрерывных функций Уолша. Общее количество отчетов в ДФУ должно быть N = 2п, где п - любое целое положительное число.
В цифровой обработке сигналов используются преобразования в различных
упорядочениях систем ДФУ. К наиболее известным упорядочениям в практике обработки сигналов ДФУ в системе относятся следующие: секвентивное упорядочение (Уолша-Качмажа); диадическое
упорядочение (Уолша-Пэли); упорядочение в
соответствии с расположением строк в матрице
Адамара (Уолша-Адамара).
Беря за основу системы непрерывных функций Уолша с различным порядком следования функции, получаем соответственно матрицы ДПУК (дискретные преобразования Уолша-Качмажа), ДПУП (дискретные преобразования Уолша-Пэли) и ДПУА (дискретные преобразования Уолша-Адамара).
ДФУ можно описать аналитически, выразив их через дискретные функции Радемахера. Пусть
j = £ ік2 - номер функции в системе, а і = £ ік2 к=0 к к=0 К
Номер отсчета, тогда упомянутые выше матрицы преобразований имеют вид:
Матрица ДПУК
матрица ДПУП
(- 1)к £ 0ік^к(і)
(- 1)к£ 0ікіп-к
матрица ДПУА
(- 1)к£ 0ікік
где -т= - нормировочный коэффициент; л/И
РоШ = Ь = ^п-к+1 ф-!п-к’ к =1,2 п,
где ® - знак сложения по модулю 2.
Отметим, что двоичные комбинации вида
Ч0(-).Ч1С-)...Рп(-) или Рп(-),Рп-1(-), -,Р0(-)
называют соответственно кодом Грея, или инверсным кодом Грея числа -
Для матриц Уолша-Адамара справедливо следующее разбиение на подматрицы вид
Реккурентную формулу (4) можно также выразить в виде кронекеровского произведения матриц:
НАР к = НАР 0 НАР к 1 . 2к 2 2к-1
Матрицы (1-2) можно получить переупорядочением строк матрицы Уолша-Адамара, так как между упорядочениями дискретной системы Уолша размерности N существуют определенные зависимости, которые в матричной форме имеют следующий вид:
РАЬм = Б^НАР^
WALN = Б^РАІ.
матрица двоично-инверсных перестановок;
Матрица перестановки по обратному двоичному коду Грея.
Приведем в краткой форме основные свойства ДФУ. Для ДФУ справедливы следующие свойства, присущие непрерывным функциям Уолша:
1. Ортогональность. Функции Уолша
ортогональны на интервале , и наоборот.
6. Мультипликативность. Произведение двух функций Уолша равно новой функции Уолша из этой же системы.
7. Порядок и ранг функций Уолша. Функции Уолша удобно характеризовать двумя параметрами, связанными с двоичным представлением их номеров. Первый из них определяет максимальный номер ненулевого двоичного разряда числа - и называется порядком р; второй - ранг функции Уолша г - показывает число двоичных разрядов, в которых число Ш имеет единицы. Номер функции Уолша г-го ранга условно обозначают в виде -(г) и записывают в десятичной системе счисления:
где ^к (к = 1,2,...,г) - номер разряда двоичного кода Ш, содержащий единицу. Область изменения всех ^к в (8) должна удовлетворять следующей системе равенств:
М1 = 0,1,..., п - г -1;
М 2 = И + 1, . ., п _ г;
Для ранга и порядка функций Уолша справедливо следующее свойство: ранг
произведения функций Уолша не превосходит суммы их рангов; порядок произведения не превышает максимальный из порядков сомножителей. Справедливость этого свойства следует из свойств суммирования по модулю 2.
В системы ДФУ отнесены к классу моноразностных дискретных ортогональных базисов. При изучении ряда свойств базисов этого класса весьма полезны их параметры и характеристики, подробно рассмотренные в данной работе. Подход к их введению основан на том, что любой коэффициент преобразования в рассматриваемом классе базисов может быть представлен в виде взвешенной суммы конечных разностей соответствующих порядков
преобразуемого вектора £
р(і)= £ і = 0,М -1,
где Р(I) - I -ый коэффициент преобразования; Дк -оператор конечной разности к-го порядка;
ы(|,-) = ы(|,Ы-1 -^ -Ш) - 1-я весовая функция; d| -
некоторое целое число.
В этом случае базисные векторы моноразностных дискретных базисов формируются последовательностями операторов конечной разности соответствующих порядков. В дальнейшем в работе будем оперировать параметром, названным дифференциальным порядком базисной функции d|,
под которым будем подразумевать порядок операторов конечной разности, формирующих эту функцию.
Отметим, что дифференциальный порядок конкретной функции Уолша связан с ее структурными свойствами и не зависит от места расположения в системе, то есть от упорядочения базисных функций.
Важными являются также следующие свойства:
8. Для систем ДФУ, упорядоченных по Адамару и Пэли, дифференциальные порядки функций равны
Следовательно,
их рангам: количество
С = гкі, і = 0,М-1.
(к = 0,п) чк
дифференциального порядка равно величине Сп -числу сочетаний из п по к.
9. Известное свойство разложений дискретных степенных полиномов по системе Уолша-Пэли , которое можно переформулировать следующим
образом: спектр дискретного полинома к-ой (к = 0,п) степени содержит компоненты, соответствующие базисным функциям не выше к-ого
дифференциального порядка. Отметим, что аналогичное утверждение будет справедливо и для разложений по системе Уолша-Адамара.
10. Спектральные коэффициенты сигналов, достаточно хорошо описываемых дискретными степенными полиномами невысоких порядков, в пределах групп, соответствующих базисным функциям Уолша-Пэли одного дифференциального порядка, убывают по абсолютной величине с ростом их порядковых номеров.
Синтез разностно-упорядоченной системы дискретных функций Уолша
Предлагаемый метод упорядочения систем
ДФУ размерности N = 2п заключается в следующем. Строится разбиение множества порядковых номеров функций Уолша исходной системы I = {0,1 N -1}
на (п +1) подмножеств, каждое из которых включает номера функций с одинаковыми дифференциальными порядками.
|(0) = {0}, і = 0 ,
І(і) = {2М + 2М2 +... + 2М: м1 = 0,п - і,
^2 - +1,п - I +1,...^| - ^| 1 +1,п - 1}, I - 1,п - 1,
1(п) - {2п - 1}, I - п.
Затем сформированные подмножества располагают в порядке увеличения дифференциальных порядков соответствующих функций, то есть в итоге получаем множество Л - ЦЛ^.-Лп}, для которого
справедливы следующие соотношения: Л п и: - 0 и Л - Сп,1 - 0,п.
Очевидно, что множество и определяет перестановку функций Уолша в системе |0 1 ... N - 1]
Полученная в результате этой перестановки система ДФУ будет характеризоваться тем, что функции в ней располагаются группами в порядке возрастания их дифференциальных порядков. По этой причине назовем эту систему ДФУ разностноупорядоченной.
Для вектора перестановочной
последовательности будем придерживаться
обозначения Рп = (Р0,Р1....Рм-1) , где
р| - ш|,1 - 0^-1. Перестановку с использованием
этого вектора назовем перестановкой по дифференциальным порядкам базисных функций (кратко Б-перестановкой).
Рассмотрим упорядочение системы Уолша-Пэли с использованием предложенного метода. Анализ дифференциальных порядков функций Уолша-Пэли показал, что вектор Рп может быть представлен в виде объединения ряда подвекторов:
Рп - (рп0),рп1),рп2),.,рпп)) , (13)
Рп,к = 1,п-1, - подвекторы,
рекуррентными соотношениями: Рі(к)= |(2і -1), і=к,
Рі(і) = (2і - 1),і = 1, п;
определяемые
^(Р-к), 2і-1 + Р,- 1)),і = к +1, п,
Векторы Рп размерности N - 2п,п -1,5 , соответствующие перестановочным
последовательностям, представлены в табл. 1.
Сверху подчеркнуты группы
коэффициентов четных, а снизу - нечетных дифференциальных порядков.
Таблица 1 - Векторы значений перестановочной последовательности
п Вектор Рп
3 {0,1,2,4,3,5,6,7}
4 {0,1,2,4,8,3,5,6,9,10,12,7,11,13,14,15}
5 {0,1,2,4,8,16,3,5,6,9,10,12,17,18,20,24, 7,11,13,14,19,21,22,25,26,28,15,23,27,29,30,31}
С учетом введенного вектора значений перестановочной последовательности разностно-
упорядоченную систему ДФУ {РЦ^0)}(=о можно описать так:
pldN(i) = palN(pj), i = 0,N
где раі^(і) - і-я функция Уолша-Пэли.
S^PAL ^ , (І6)
Матрица D-перестановок,
элементы которой формируются так:
[о, в остальных случаях.
Следует отметить, что представленное выше упорядочение системы ДФУ получено на основе системы Уолша-Пэли. Выбор в качестве базисной системы Уолша-Пэли обусловлен легкостью
получения аналитического описания для перестановочной последовательности и матричного соотношения, формирующего предложенное упорядочение системы ДФУ.
Различные варианты разностно-
упорядоченных систем могут быть получены при выборе в качестве базисной других систем Уолша. Анализ дифференциальных порядков функций Уолша-Адамара и Уолша-Пэли показал, что вектор значений перестановочной последовательности Рр при выборе в качестве опорных матриц Уолша-Адамара также может быть представлен в виде объединения ряда подвекторов (13-14) - (табл. 2).
На основе полученного вектора значений перестановочной последовательности разностно-
описать так:
упорядоченные системы ДФУ
hddN ()= hadN (pj)i = 0,N -1
где hadN (0 - соответственно 1-е функции Уолша-Адамара.
Таблица 2 - Группы дифференциальных порядков систем Уолша-Пэли и Уолша-Адамара при N=8
j hadn,j PALn,j di pj pldn ,j di
О ООО ООО О О ООО О
І ООІ ІОО І 4 ІОО І
2 ОІО ОІО І 2 ОІО І
3 ОІІ ІІО 2 І ООІ І
4 ІОО ООІ І 6 ІІО 2
З ІОІ ІОІ 2 З ІОІ 2
6 ІІО ОІІ 2 3 ОІІ 2
7 ІІІ ІІІ 3 7 ІІІ 3
Матричная запись для введенной системы ДФУ имеет следующий вид:
Например, явный вид матрицы HDDN для N = 2 имеет следующий вид:
11 1 1 1 1 1 1 0
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
11 -1 -1 1 1 -1 1
1 1 1 1 -1 -1 -1 1
1 -1 -1 1 1 -1 1 2
1 -1 1 -1 -1 1 1 2
1 -1 -1 1 1 -1 1 2
1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 3
дифференциальный порядок базисной функции, расположенной в соответствующей строке матрицы.
Точная оценка М общего числа разностноупорядоченных систем ДФУ при условии, что группы базисных функций будут располагаться в порядке повышения их дифференциальных порядков, может быть определена по следующей формуле:
М =П (СП!). (18)
В работе рассмотрена возможность получения матричной записи другого варианта разностно-упорядоченной системы ДФУ. При этом используется послойно-кронекеровское
произведение матриц.
Остановимся на вопросе нумерации разностно-упорядоченных ДФУ в системе. Здесь в ряде случаев удобнее оперировать двухзначной индексацией базисных функций. Например, для рассмотренных в работе систем ДФУ она вводится следующим образом:
pld2n(i) = pld2n(l,j), i = 0,N -1, i = bnl-1 + j, l є {0,1,..., n) j є{,1,...,сП -1}.
Очевидно, что индекс l равен дифференциальному порядку базисного вектора, а индекс j - его порядковому номеру в соответствующей группе. Соотношение, описывающее зависимость между двумя видами индексации, не зависит от варианта разностноупорядоченной системы ДФУ.
Заметим, что матрицы PAL^, и DOWN
совпадают для N=2,4, а PLD^ = DOWN для N=8.
Свойства разностно-упорядоченных систем дискретных функций Уолша
свойства
отдельные введенным упорядочениям
Рассмотрим преобразований по систем ДФУ.
1. Для разностно-упорядоченных систем ДФУ
справедливы свойства ДФУ 1-7.
2. Известное свойство 8 (разложение дискретных
степенных полиномов по системе Уолша-Пэли и Уолша-Адамара) применительно к рассматриваемым разностно-упорядоченным системам ДФУ можно
сформулировать следующим образом: спектр
дискретного полинома к-ой (к = 0,П) степени разлагается по базисным функциям не выше к-ой группы.
Рассматриваемое свойство в случае
упорядочения функций Уолша-Пэли можно записать в виде следующего соотношения:
р(|,|) = 0,1> к, (20)
где Р(и)= £ 10(,и)
3. Немаловажным является свойство 9, которое
также справедливо для разностно-упорядоченных систем ДФУ: спектральные коэффициенты сигналов, достаточно хорошо описываемых дискретными
степенными полиномами невысоких порядков, в пределах групп, соответствующих базисным функциям одного дифференциального порядка, убывают по абсолютной величине с ростом их порядковых номеров.
Полученные при этих упорядочениях матрицы функций Уолша являются несимметрическими,
исключением являются тривиальные случаи матриц для порядков N = 2, 4.
4. Отметим следующее свойство, спектры
дискретных степенных полиномов низких порядков в базисах разностно-упорядоченных ДФУ
характеризуются большей степенью локализации ненулевых компонент в их начальных участках
Проиллюстрируем характер распределения ненулевых компонент спектров дискретных степенных полиномов 1(1) к-ой (к = 1,2) степени для N=16 в
базисах различных систем ДФУ.
Предварительно введем индикаторный вектор спектра Б = (зо^...^^-), определяя его элементы так
Б| = |0, р(|)=о, (21)
где Р(1) - ьый коэффициент преобразования. Одномерные дискетные степенные полиномы 10) определяются функциями вида
f(j) = Е аі]", ] = 0,Ы-1, к є г,
1 = {0,1, ... ,м -1}.
При выборе моделей сигналов часто ограничиваются полиномиальной моделью малых степеней (к є г 5). Это обусловлено тем, что ею
может быть эффективно описан широкий класс реальных сигналов на конечных интервалах.
Формулы расчета коэффициентов преобразования Р(і) одномерного полиномиального сигнала в матричном виде будут иметь следующий вид:
где - матрица ДПУ в используемом упорядочении ДФУ;
1 = |г(|), | = оТы -1} - вектор исходных данных;
Р = р(1), I = 0^ -11 - вектор спектральных
коэффициентов, Т - знак транспонирования.
Индикаторные векторы спектров в базисе Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа, Уолша-Пэли и разностно-упорядоченных ДФУ для полиномов степени к=1 и к=2 имеют вид:
(1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0) - для базиса Уолша-Адамара;
(1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1) - для базиса Уолша-Качмажа;
(1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0) - для базиса Уолша-Пэли;
(1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) - для базиса
разностно-упорядоченных ДФУ.
(1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0) - для базиса Уолша-Адамара;
(1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1) - для базиса Уолша-Качмажа;
(1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0) - для базиса Уолша-Пэли;
(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0) - для базиса
разностно-упорядоченных ДФУ.
Проиллюстрируем характер распределения ненулевых компонент спектров дискретных степенных двумерных полиномов 1(1, ] к-ой (к = 1,2) степени для N1* N2=8x8 в базисах ДФУ. Двумерные дискретные степенные полиномы, определяют функциями вида
Ш) = X X араір]а,
где I = 0,^ -1,] = 0,^ -1, к е 2^1,
^ -1 = {о,1, ^ - 1} .
При этом ограничимся двумерными полиномиальными моделями низких степеней ввиду того, что они являются основой ряда алгоритмов цифровой обработки сигналов.
Приведем формулы прямого
преобразования двумерного полиномиального сигнала в векторно-матричной форме:
Р = HNTfHN, (25)
где 1 = {1(1,]), I = 0,^ -1,] = 0,^ -1} - матрица
исходных данных;
Р = "Р(И),1 = 0,^ -1, ] = 0^2 -1} - матрица
спектральных коэффициентов.
Индикаторные векторы спектров для рассматриваемых случаев при к=1 показаны на рис. 1,
1 I 1 I о I 1 I □ I □ I □ I 1
00000000 1 0 0 0 0 0 0 0
00000000 1 0 0 0 0 0 0 0
Рис. 1 - Индикаторные векторы спектров при к=1 в базисе: Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа
00000000 00000000 00000000 00000000
Рис. 2 - Индикаторные векторы спектров при к=1 в базисе: Уолша-Пэли, разностно-упорядоченных
Индикаторные векторы спектров для рассматриваемых случаев при к=2 показаны на рис. 3,
11111110 1110 10 0 0 1110 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1110 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00000000
Рис. 3 - Индикаторные векторы спектров при к=2 в базисе: Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа
1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I о
Рис. 4 - Индикаторные векторы спектров при к=2 в базисе: Уолша-Пэли, разностно-упорядоченных
Из этих примеров видно, что спектры дискретных степенных полиномов низких порядков в базисах разностно-упорядоченных ДФУ
характеризуются большей степенью локализации ненулевых компонент в их начальных участках. Полученные свойства преобразований по разностноупорядоченным системам ДФУ имеют важное значение для их приложений в системах управления и системах связи.
1 0 □ 0 0 0 0 0
1 0 0 □ 0 0 □ 0
□ 0 0 □ 0 0 □ 0
Применение синтезированных упорядочений дискретных функций Уолша в АСУ
Успешному использованию преобразований Уолша в области управления и связи способствовало изучение следующих вопросов: свойства функций Уолша; свойства спектров Уолша; общие вопросы применения функций Уолша при выполнении преобразований; алгоритмы быстрого преобразования Уолша; вычисление корреляционных функций и выполнение сверток на базе функций Уолша; применение функций Уолша для исследования случайных процессов; использование функций Уолша при построении цифровых фильтров.
Благодаря общим свойствам 1-7 с известными ДФУ (в упорядочениях Уолша-Качмажа, Уолша-Пэли, Уолща-Адамара) синтезированные разностно-упорядоченные
системы ДФУ могут найти эффективное применение в области автоматического управления технологическими процессами. Например, является актуальным применение преобразований Уолша при анализе динамики линейных и нелинейных систем, разработке систем оптимального управления, моделировании процессов, идентификации объектов, разработке ряда специальных устройств автоматики .
Практически важным для АСУ является предоженное X. Хармутом использование функций Уолша для формирования сигналов, передаваемых по линиям радиосвязи . Функции Уолша применены при разработке многоканальных систем связи, в которых одновременно передаются различные сигналы по каждому каналу связи. Использование разностно-упорядоченных систем ДФУ (свойство 2) позволит обеспечить многопотоковую обработку данных, при этом каждый поток будет включать элементы группы трансформант соответствующего
дифференциального порядка, что значительно ускорить обработку данных.
В настоящее время для решения многих задач в АСУ технологическими процессами и производством применяется вейвлет-
преобразование. Например, в ОАО "Татнефть" вейвлет-преобразование испольуется для подавления шумов и сжатия массивов данных с глубинных манометров , или при передаче динамограмм полученных с датчиков динамометрирования на диспетчерский пункт . Во многих случаях недостаточная степень сжатия данных при выполнении ДПУ сдерживает широкое применение данных преобразований. Свойство 2 полученное для разностно-упорядоченных систем ДФУ позволит значительно увеличить степень сжатия данных и способствует применению в перечисленных выше задачах.
Одной из важных задач в АСУ является задача передачи данных по каналам связи. При этом широкое распространение получили 8СЛЭЛ-
системы. Известны также решения, в которых функции 8СЛЭЛ-системы реализованы с помощью интернет-программирования, в ОАО «Газ-Сервис» (Республика Башкортостан) внедрены в эксплуатацию несколько автоматизированных систем дистанционного мониторинга оборудования газораспределительной сети . Для передачи данных по сети эффективное применение могут найти разностно-упорядоченные системы ДФУ (свойство 4).
В работе авторами были предложены алгоритмы с использованием преобразований Уолша и сравнительный анализ их эффективности. Использование в представленных алгоритмах для передачи данных разностно-упорядоченных систем ДФУ позволит обеспечить последовательную передачу потоков выходных данных при высокой скорости обработки и передачи данных по сети.
Полученные свойства новых упорядоченний дискретных функций Уолша имеют важное значение для их приложений в системах управления и системах связи. Синтезированные разностно-упорядоченные
Сжатие навигационых таблиц в базисе Уолша C.B. Пашенцев
Судоводительский факультет МГТУ, кафедра судовождения
Аннотация. В работе рассмотрена возможность использования функционального базиса Уолша-Пэли для сжатия линейных и прямоугольных таблиц. Приведены все необходимые для этого формулы и на некоторых примерах продемонстрирован реальный эффект сжатия информации. Метод может использоваться как для предварительного сжатия информации, так и при ее обработке в реальном масштабе времени.
Abstract. A possibility of the using of the Wolsh-Paly functional base for the linear and rectangular tables compression has been considered in the work. All the formulas, necessary for it, are given and the actual effect of information compression has been shown on some examples. The method can be used both for preliminary compression of information, and by its processing in a real time scale.
1. Введение
В многих автоматических и автоматизированных устройствах, связанных с судовождением, используются табличные данные, занесенные в память решающих устройств и выбираемые из нее по мере надобности. При этом расходуется важнейший ресурс - память, а выборка из нее потребляет и еще более важный ресурс - время, влияя на быстродействие всей системы обработки информации. Поэтому важны любые методы, позволяющие уменьшать объем хранения. Одним из таких методов может быть метод сжатия табличной информации за счет ее спектрального разложения в некотором функциональном базисе. В момент потребления значение функции восстанавливается обратным преобразованием. По сравнению с разложением Фурье, более выгодным является использование для разложения базиса Уолша, так как для гладких функций коэффициенты разложения Уолша быстрее стремятся к нулю. Это допускает большую степень сжатия информации в базисе Уолша. Кроме того, при восстановлении табличных значений в базисе Уолша требуется меньшее время. Связано это с более простым вычислением функций Уолша сравнительно с вычислениями тригонометрических функций. Ести же эти функции генерируются аппаратно, то выгода от применения функций Уолша еще больше, так как их возможные значения +1 и -1 легко реализуются вычислительными устройствами. В работе на численных примерах показаны преимущества применения базиса Уолша для некоторых типов гладких функций и табличных данных. Вычислительный процесс строится на программах быстрых преобразований Фурье и Уолша, написанных автором, и сравнении получаемых спектров.
2. Теоретические основания сжатия
Общие теоретические положения, на основании которых производится преобразование в выбранном функциональном базисе, хорошо известны (Голд, Райдер, 1993; Трахтман А., Трахтман В., 1978). Следует выделить дискретные преобразования при конечности исходного числового ряда. Поскольку речь идет о сжатии таблиц, т.е. о принципиально конечном ряде чисел, то далее будем говорить только о дискретных преобразованиях. Если задан ряд из N чисел
X2, Xk, , XN (1)
то и функциональный базис следует выбрать из конечного набора N функций
Фа(Х), а= 1, 2,„., N, (2)
существующих на совокупности точек Xk. Тогда дискретное преобразование в этом базисе даст ровно N коэффициентов Ca, Koropbie находятся с помощью формального суммирования:
C„ = ЪкХк Фа(Хк), а= 1, 2,„„ N. (3)
Совокупность N коэффициентов Ca и составляет дискретное представление ряда чисел (1) в
функциональном базисе (2). Часто эту совокупность чисел Ca называют линейчатым спектром в выбранном базисе. Другой интерпретацией разложения (3) является рассмотрение его как линейного преобразования исходной системы координат Хк. Коэффициенты Ca становятся тогда координатами в новой координатной системе 0JX). Если спектр (набор коэффициентов Ca) известен, то породивший его ряд чисел можно восстановить с точностью до погрешностей вычислений с помощью обратного дискретного преобразования
Xk = (1/N) T.aCa0JXk), k = 1, 2,..., N. (4)
Для справедливости простых и почти симметричных преобразований (3) и (4) необходимо, чтобы набор функций базиса обладал свойствами ортогональности и определенной нормировки. Условие ортогональности выглядит как совокупность равенств
Zk Фр(Хк) Ф(Хк) = 0, р Ф q, (5)
а условия нормировки - как совокупность равенств
Zk ФрХк) Фр(Хк) = Ек Фр\Хк) = 1. (6)
Кроме того, система базисных функций называется полной, если невозможно указать более ни одной функции, которая ортогональна ко всем функциям базиса.
Очевидно, что при такой постановке вопроса никакого сжатия не происходит, так как количество членов исходного ряда и количество спектральных коэффициентов одинаково. Возможность сжатия информации появляется, если число коэффициентов спектра можно сделать меньше числа N. Например, когда часть коэффициентов спектра равна нулю или близка к нему. Тогда этими коэффициентами можно пренебречь, и полученный спектр окажется короче. В первом случае, когда мы пренебрегаем только нулевыми коэффициентами спектра, исходный ряд чисел будет восстановлен с точностью до погрешностей вычислений. Если же мы пренебрежем коэффициентами спектра, в указанной степени близкими к нулю, то восстановленные значения исходного ряда будут включать в себя не только погрешности вычислений, но и погрешности от неточного представления спектра. Чем большую погрешность восстановления членов исходного ряда мы flonyœaeM, TeM большим числом коэффициентов спектра можно пренебречь.
Если обозначить через n число коэффициентов спектра, которыми мы пренебрегли, то отношение в процентах
sq = (n / N) -100 % (7)
можно назвать степенью сжатия исходной информации. Ведь в этом случае мы представляем ее N-n коэффициентами спектра вместо N значений исходного ряда. При sq = 0 сжатие вообще не происходит, а при sq = 100 % оно достигает предельной гипотетической величины. Реальные случаи лежат в пределах от 0 % до 100 %.
Практическая сторона реализации этой идеи несколько сложнее. Если нулевыми или малыми в указанной степени являются конечные (финальные) спектральные коэффициенты, то не составляет труда отбросить n из них и тем самым добиться сжатия sq.
Если же среди коэффициентов спектра имеются нулевые или близкие к нулю в заданной степени, но они не являются финальными, то возникает сложность в представлении такого спектра с позиций сжатия информации. В этом случае надо либо приводить все коэффициенты спектра, включая нулевые и близкие к ним, и тогда сжатия не происходит. Либо задавать группы нулевых спектральных коэффициентов номером начального элемента в группе и количеством элементов группы. Это, естественно, уменьшает степень сжатия исходного ряда чисел. Если нулевые элементы спектра не являются финальными или не составляют группы, а их номера не обнаруживают простой закономерности, то сжатие информации этим путем не достигается.
Итак, возможность сжатия информации и степень ее сжатия зависят как от самого ряда чисел (1), так и от набора функций (2), составляющих базис спектрального разложения Ca. Поскольку ряд чисел Хк нам задан, то управлять степенью сжатия мы можем, изменяя базис спектрального разложения. Но при выбранном базисе Ф(х) характер заданной информации будет сказываться как на самой
возможности сжатия, так и на степени ее сжатия. Существует достаточно много функциональных базисов, которые успешно используются для различных задач представления информации. Среди наиболее известных назовем базисы степенных функции и их полиномиальные варианты в виде полиномов Чебышева и Лежандра, а также базисы Кравчука, Шарлье и Мейснера. Но наиболее знакомым нам является базис тригонометрических функций:
sin(2nax) и со s(2n«x), (7)
или соответствующий экспоненциальный базис в комплексной форме:
exp(-j 2nax). (8)
В этом случае спектр коэффициентов Ca является спектром в его обычном физическом смысле как совокупности амплитуд некоторого набора частот ограниченного диапазона и определенного частотного разрешения. Поскольку в этом случае базис уже выбран, то возможности сжатия теперь связаны только с характером исходной информации. Если она адекватна по характеру выбранному базису (8), т.е. состоит из линейной комбинации конечного числа периодических функций, то спектр будет содержать лишь конечное число отличных от нуля коэффициентов, и возникает возможность сжатия информации.
3. Система функций Уолша-Пэли
Если же исходная информация имеет другой характер, например, изменяется по степенному, показательному или логарифмическому закону, то в спектре все его коэффициенты не являются достаточно малыми, и сжатие либо невозможно, либо степень сжатия мала. В этих случаях разумно использовать другой функциональный базис. Поскольку для других базисов нет отчетливого физического представления спектра, то можно интерпретировать (2) как формулы перехода от координатной системы Xk к другой координатной системе Фа(Х). Равенство нулю части коэффициентов означает, что вектор, заданный координатами в виде исходного ряда чисел, в новой системе координат располагается в координатной гиперплоскости размерности N-n. Среди существующих возможностей имеются несколько базисов, порождаемых функциями Радемахера при Z е (0,1):
R0(z) = 1, Rk(z) = sign (sin (2k nz)), k = 1,2,..., (9)
которые в соответствии с входящей в них функцией sign() принимают только два значения: +1 или -1.
Система функций (9) ортогональная и нормированная, но не является полной. К ней можно добавить функции вида sign(cos2knz), которые также ортогональны к функциям системы (9). Поэтому на базе представлений (9) формируют иные полные системы, используя произведения функций Радемахера и внося в получаемые таким образом новые функции определенное упорядочивание.
Наиболее интересной для навигационных применений в плане сжатия информации является система функций Уолша-Пэли. Образование этой системы тесно связано с двоичными номерами составляющих ее функций. Конкретно, функция Уолша-Пэли с номером а есть произведение функций Радемахера с номерами тех двоичных разрядов а, в которых расположены 1. Если записать номер а в двоичном представлении с n = log N разрядами
а = Zk 2k-1 ak, (10)
то функции системы Уолша-Пэли можно представить так:
Wa(z) = Пк М. Сам номер } можно представлять подобно (12) в двоичной форме:
} = Ек 2к-1]к. (15)
Тогда система функций Уолша-Пэли окончательно представится в виде
ЯГа}/Щ = WJ {а/К) = (-1)"как1""к + \ (16)
который используется во всех последующих вычислениях. Программная функция WolshPaly() на языке Паскаль для генерации функций Уолша-Пэли с помощью формул (16) приведена ниже. Для N = 8 значения функций Уолша-Пэли №(/) даны в табл. 1.
Таблица 1. Значения функций Уолша-Пэли для N = 8
] 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 1 1 1 1 1 1
Не обсуждая детали, просто упомянем о существовании систем функций Адамара и Хармута, которые отличаются от подробно рассмотренной системы функций Уолша-Пэли только способом упорядочивания одних и тех же функций. Именно порядок функций Уолша-Пэли обеспечивает наибольшее число финальных коэффициентов спектра, нулевых или близких к нулю в заданной степени.
4. Сходимость рядов Уолша-Пэли
Функции Уолша обладают рядом полезных свойств, среди которых приведем используемое в вычислениях свойство симметрии:
Щ (а/Щ. (17)
Двоичное представление номеров функций Уолша с п = logN разрядами определяет порядок р и ранг г функции. Порядком называется наибольший номер двоичного разряда, который равен 1. Рангом Я функции называется число ненулевых двоичных разрядов, например, функция Уолша с номером а = 9 для N = 16 и п = 4 представляется в двоичной форме как 1001, и, следовательно, ее ранг г = 2 (два
ненулевых разряда) и порядок р = 3 (старший ненулевой разряд - третий, т. к. счет идет от нуля). Если функция с номером а имеет ранг г, то ее номер можно представить в виде:
а (Я = г) = 2М1 + 21"2 + ... + 2Мг, (18)
где цк (к = 1, 2,..., г) - номера ненулевых разрядов двоичного представления номера а. Например, номер 9 можно представить как 23 + 20, учитывая двоичное представление 1001. Непосредственно для проблемы сжатия исходной информации важна скорость убывания коэффициентов Са разложения в базисе Уолша при росте номера а. Если функция, представляемая рядом (1), обладает непрерывной производной до даго порядка, и максимальное значение модуля производной |А"(т)| есть М, то коэффициенты спектра с номерами а, ранг которых не меньше порядка производной (г > да), удовлетворяет неравенству (Проектирование специализированных..., 1984):
| Са(г>ш) | < М/ 2ш(ш+3)/2. (19)
Именно это важное неравенство гарантирует быструю сходимость спектральных коэффициентов Са с ростом номера а и открывает перспективы сжатия табличной информации. Действительно, ранг г функции Уолша увеличивается с ростом номера функции а так, что условие г > ш выполняется для больших номеров а. Это значит, что оценка (19) действует для финальных коэффициентов разложения.
Таблица 2. Коэффициенты спектрального разложения степенных функций в базисе Уолша
ПОРЯДОК РАНГ СТЕПЕНЬ ФУНКЦИИ
0 0 4.68 3.03 2.20 1.37
1 0 -2.50 -2.34 -1.96 -1.34
2 1 -1.25 -1.17 -1.10 -0.95
3 1 0 0.63 0.88 0.92
4 2 -0.63 -0.59 -0.56 -0.52
5 2 0 0.31 0.44 0.49
6 2 0 0.16 0.22 0.31
7 3 0 0 -0.12 -0.29
8 3 -0.31 -0.29 -0.28 -0.26
9 3 0 0.16 0.22 0.25
10 3 0 0.08 0.11 0.15
11 3 0 0 -0.06 -0.15
12 3 0 0.04 0.05 0.08
13 3 0 0 -0.03 -0.07
14 3 0 0 -0.01 -0.04
15 3 0 0 0 -0.03
од % 43.8 18.8 6.3 0
Если к тому же функция имеет конечное число отличных от нуля производных (например, степенная функция), то все коэффициенты с номерами, чьи ранги больше этой степени, тождественно равны нулю. Но для этого необходимо, чтобы число N было достаточно велико, и ранг "успел" стать больше номера старшей производной. В качестве примера рассмотрим спектральное разложение степенной функции, представленной рядом (1), с числом отсчетов, равным 16 ^ = 16, п = 4). Малое число отсчетов выбрано только для обозримости результатов примера. Выше в табл. 2 приведены с округлением до двух знаков спектральные коэффициенты разложения для различных степенных функций: линейной, квадратической, кубической и пятой степени - с одновременным указанием номера а спектра и его ранга г.
На этом примере видно, что чем меньше степень функции, которая порождает ряд чисел (1), тем большей степени сжатия од можно достичь при разложении. Если ряд короткий, а степень велика, то сжатие вообще не достигается, как это происходит при пятой степени функции. Если при той же степени функции увеличивать число членов ряда и, следовательно, число коэффициентов спектра, то степень
сжатия растет. Так, при N = 64 sq = 7.8 %, при N = 128 sq = 18.0 %, при N = 256 sq = 23.8 %.
Заметим попутно, что в случае спектра Фурье ни в одном из приведенных случаев никакого сжатия не достигается - налицо неадекватность тригонометрического базиса степенным функциям.
4. Основные формулы дискретного преобразования Уолша-Пэли
Обычно говорится о представлениях заданной функции в выбранном базисе, но, работая с дискретным спектральным преобразованием, мы имеем дело с набором ее дискретных значений. Эти дискретные значения представлены рядом чисел (1).
Итак, мы выберем в качестве функционального базиса систему функций Уолша-Пэли (16) и приведем для этой системы основные формулы, выражающие свойства ортогональности и нормировки функций в этой системе, и формулы преобразования для нее:
Формула прямого дискретного преобразования Уолша для получения спектра
Са = (1/N) ZkXkWa(k/N).
Формула обратного дискретного преобразования Уолша для восстановления исходного ряда значений
Xk = EaCaWa (k/N).
Условие ортогональности и нормировки функций Уолша на дискретном множестве точек
No = (1/N)Zk Wp(k/N) W(k/N) = 0, если p Ф q и No = 1, если p = q. Равенство Парсеваля
(1/N) ZkXk2= ЪаСа,
которое представляет собой равенство квадрата модуля вектора в исходной Xk и новой Са системах координат.
5. Элементы программной реализации
Именно этот набор формул был положен автором в основу при составлении программы на языке Паскаль для сравнительного анализа результатов дискретных преобразований Фурье и Уолша (свидетельство на программный продукт РОСАПО № 950347 от 02.10.1995). При этом дискретные преобразования были реализованы как быстрые преобразования Фурье (БПФ) и Уолша (БПУ) с основанием 2 и прореживанием по времени (Рабиндер, Голд, 1978). Это не имеет значения для сжатия табличной информации, так как преобразование в этом случае производится один раз, но очень важно при обработке информации в реальном масштабе времени для возможности прогонки большего числа различных числовых рядов (таблиц, функций) за минимальное время. Подобная программа практически без изменений была с успехом применена при оперативном спектральном анализе на борту летающей лаборатории ИЛ18-ДОРР ПИНРО. Два основных фрагмента этой программы приведены ниже. Это процедура быстрого преобразования Уолша и функция вычисления значения функции Уолша по заданному номеру и аргументу. Вся программа занимает слишком много места и потому здесь не приводится.
Function WolshPaly(Alf, l: integer) : integer; var J, K, x, y, w, maskl, mask2: integer; begin
w:=l; mask1:=l; mask2:=N div 2; for K:=0 to N-l do begin
if (Alf and mask2)<>0 and (I and mask1)<>0 then w:=-w; mask1:=mask1*2; mask2:=mask2 div 2; end;
WolshPaly:=w; end;
Эта функция принимает два параметра - номер Alf и аргумент I функции Уолша и возвращает само значение функции Уолша.
Procedure FastWolshTrans(var ml, m2, m3, m4: masdat); var L, LE, LE1, I, J, IP: integer; T1,T2: real;
begin LE:=1; for L:=1 to M do begin LE1:=LE; LE:=LE*2;
for J:=1 to LE1 do begin I:=J; repeat IP:=I+LEl; T1:=m1; T2:=m2;
If L=M then begin
m3:=m1[I]-T1; m4:=m2[I]-T2; m3[I]:=m1[I]+T1; m4[I]:=m2[I]+T2;
m1:=m1[I]-T1; m2:=m2[I]-T2; m1[I]:= m1[I]+T1; m2[I]:=m2[I]+T2;
I:=I+LE; until I>N; end; end;
/* "D" - знак прямого преобразования */
if TIP="D" then begin for L:=1 to N do begin m3[L]:=m3[L]/N; m4[L]:=m4[L]/N; end;
Процедура производит быстрое преобразование Уолша данных, которые передаются процедуре в массивах ml и m2. Результат преобразования - спектр Уолша возвращается процедурой в массивах m3 и m4. Если данные передаются процедуре в обычном порядке следования, то результат возвращается в двоично-инвертированном порядке. Если же мы хотим получить обычный порядок коэффициентов спектра, то исходные данные для обработки следует двоично инвертировать. Двоичным инвертированием номера считается номер, в котором порядок его двоичных разрядов изменен на обратный, например, инверсия числа 6 = 110 есть 3 = 011. Для инверсии любых номеров предлагается процедура на языке Pascal:
Procedure MASINVERSION(sw: integer; var m1, m2: masdat); var I, J, K, NV2: integer; T: real; begin NV2:=N div 2;
for I:=1 to N-1 do begin
if I else begin K:=NV2; while K 6. Сжатие таблиц с двумя аргументами Выше были рассмотрены преобразования и сжатие одномерных, линейных таблиц. Но большинство применяемых в судовождении таблиц являются двумерными - прямоугольными матрицами. Вопрос об их сжатии можно решить двумя путями. Первый путь - преобразование таблицы как линейной, считая, что она образована последовательным размещением строк таблицы-матрицы, начиная с первой строки. Этот путь вполне обычен, ведь именно так хранится двумерный массив в линейно организованной памяти ЭВМ. Преимущество такого способа состоит в том, что размер такой линейной таблицы будет достаточно большим, и можно надеяться на эффективность сжатия. Но в нем скрыты и возможные неприятности. После выстраивания в линию строк матрицы мы наверняка получим скачки функции при переходе от конца одной строки к началу следующей. Эту трудность можно обойти изменением порядка элементов в каждой четной строке - инвертированием этой строки. Соответственно, изменится и порядок спектральных коэффициентов. Но это не усложнит, а только изменит порядок номеров при восстановлении значений самой функции. Так, если номер значения восстанавливаемой функции был Npq = (р - 1) М + q, где р - номер строки с числом М элементов в ней, а q - номер столбца, то после инвертирования для четных строк этот номер станет равным (р - 1) М + (М- q + 1). Второй путь - сначала спектральное преобразование строк таблицы, а затем преобразование полученного промежуточного спектра по столбцам. Недостатком этого способа можно считать малую степень сжатия из-за малой длины строк и столбцов. Правда, эффект сжатия усиливается за счет двойного преобразования и строк, и столбцов. Например, при сжатии строк и столбцов всего на 10 % общий эффект сжатия будет равен 1 - 0.9x0.9 = 0.19 = 19 %. Если, например, строки таблицы изменяются по квадратическому закону, а столбцы по кубическому, то общий эффект сжатия по данным табл. 2 равен 1-(1-0.188)х(1-0.63) = 0.24 = 24 %. В качестве конкретного примера приведем результаты преобразования таблицы интегральной функции Лапласа (Кондрашихин, 1969), которую применяют в судовождении при оценке надежности мореплавания. Здесь она представлена в виде матрицы 30x10, т.е. состоит из 30 строк и 10 столбцов. Преобразовывать ее как двумерную нет никакого смысла: слишком мало (10) элементов в строках. Поэтому преобразуем ее как линейную таблицу из 300 значений. В примере будем считать, что значений 256 = 28. Но можно было бы дополнить таблицу нулями и считать число значений 512 = 29. Ив том, и в другом случаях получен одинаковый результат: финальное число нулей с степенью близости к нулю порядка 0.01 % от максимального коэффициента составляет 46.5 %. Восстановление функции по сжатой до 53.5 % совокупности коэффициентов спектра дало погрешности: среднюю квадратическую в 0.005 и максимальную в 0.057. Пример показывает эффективность проведенного преобразования таблицы. 7. Заключение Проведенные исследования, связанные с выбором функционального базиса Уолша-Пэли, показывают, что этот функциональный базис может успешно применяться в различных системах обработки информации, не носящей выраженного периодического характера. В этом случае преимущества такого функционального базиса перед базисом Фурье очевидны. Кроме того, базис Уолша-Пэли дает хороший эффект при сжатии информации. Это показано на примере характерной для задач надежности навигации таблицы интегральной функции Лапласа, где эффект сжатия достиг 53.5 %. Литература Голд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М., Сов.радио, 367 е., 1993. Кондрашихин В.Т. Теория ошибок. М., Транспорт, 256 е., 1969. Проектирование специализированных информационно-вычислительных систем. Под ред. Смирнова Ю.Н. М., Высшая школа, 359 е., 1984. Рабиндер Л., Голд Б. Теория и приложения цифровой обработки сигналов. М., Мир, 528 е., 1978. Трахтман А.Н., Трахтман В.А. Введение в общую спектральную теорию сигналов. М., Сов.радио, 312 е., 1978. Лекция
17. Функции Уолша и их применение
Функции Уолша.
Основные определения. Способы
упорядочения функций Уолша
Функции Уолща
являются естественным расширением
системы функций Радемахера, получены
Уолшем в 1923 г. и представляют полную
систему ортонормированных прямоугольных
функций. Множество функций
Уолша, упорядоченных по частости, обычно
обозначают следующим образом: Функции
Уолша, упорядоченные по частости,
аналогично тригонометрическим функциям
можно подразделить на четные cal(i,t)
и нечетные sal(i,t) На
рисунке 17.1 показаны первые восемь
функций wal w
(i,t). Рисунок 17.1 При
этом видно, что частость каждой последующей
функции Уолша больше или равняется
частости предыдущей функции Уолша и
имеет на одно пересечение нулевого
уровня больше в открытом интервале
t.
Отсюда и следует название «упорядочение
по частости». Дискретизация
функций Уолша, показанных на рисунке
17.1а, в восьми равноотстоящих точках
приводит к матрице (8х8), показанной на
рисунке 17.1б. Эту матрицу обозначают
H w
(n)
где n=log 2 N
и матрица будет иметь размер NxN. Функции
Уолша при упорядочении по частости в
общем случае можно получать из функций
Радемахера r k (x)
по формуле: где
w
номер функции Уолша; k
– номер функции Радемахера;
Таблица
17.1 r 1 (x)
r 2 (x)
r 3 (x)
= wal(w
,x) r 1 0 (x)
r 2 0 (x)
r 3 0 (x)
= wal(0,x) r 1 1 (x)
r 2 0 (x)
r 3 0 (x)
= wal(1,x) r 1 1 (x)
r 2 1 (x)
r 3 0 (x)
= wal(2,x) r 1 0 (x)
r 2 1 (x)
r 3 0 (x)
= wal(3,x) r 1 0 (x)
r 2 1 (x)
r 3 1 (x)
= wal(4,x) r 1 1 (x)
r 2 1 (x)
r 3 1 (x)
= wal(5,x) r 1 1 (x)
r 2 0 (x)
r 3 1 (x)
= wal(6,x) r 1 0 (x)
r 2 0 (x)
r 3 1 (x)
= wal(7,x) w
0
– старший разряд числа, w
3
– младший разряд числа w
. Показатели
степени функций Радемахера получаются
равными:
wal(6,x)=r 1 1 (x)r 2 0 (x)r 3 1 (x)=r 1 (x)r 3 (x) Правило
получения показателей степеней для
функции Радемахера схематически показано
в таблице 17.1, где стрелками указаны
суммируемые разряды числа w
и функции Радемахера, к которым относится
полученный показатель степени. Из
рисунка 17.1 видно, что четные номера
функций Уолша относятся к четным
функциям, а нечетные к нечетным функциям.
Другим способом упорядочения являются
упорядочение по Пэли. При упорядочении
по Пэли, аналитическая запись функции
Уолша имеет вид: p 1
– младший разряд двоичного числа, р n
– старший разряд двоичного числа. При
упорядочении по Пэли для формирования
функций Уолша необходимо взять
произведение возведенных в степень
функций Радемахера, номера которых
совпадают с номерами соответствующих
разрядов двоихного представления числа
р, а показатель степени каждой функции
равен содержимому соответствующего
разряда, т.е. 0 или 1. Причем младшей
функции Радемахера соответствует
младший разряд двоичной комбинации
числа р. В соответствии с этим правилом
в таблице 17.2 приведены значения функций
Уолша упорядоченных по Пэли. Таблица 17.2 r 1 (x)
r 2 (x)
r 3 (x) wal p (i,x)
= wal w
(j,x) r 1 0 (x)
r 2 0 (x)
r 3 0 (x) wal p (0,x)
= wal w
(0,x) r 1 1 (x)
r 2 0 (x)
r 3 0 (x) wal p (1,x)
= wal w
(1,x) r 1 0 (x)
r 2 1 (x)
r 3 0 (x) wal p (2,x)
= wal w
(3,x) r 1 1 (x)
r 2 1 (x)
r 3 0 (x) wal p (3,x)
= wal w
(2,x) r 1 0 (x)
r 2 0 (x)
r 3 1 (x) wal p (4,x)
= wal w
(7,x) r 1 1 (x)
r 2 0 (x)
r 3 1 (x) wal p (5,x)
= wal w
(6,x) r 1 0 (x)
r 2 1 (x)
r 3 1 (x) wal p (6,x)
= wal w
(4,x) r 1 1 (x)
r 2 1 (x)
r 3 1 (x) wal p (7,x)
= wal w
(5,x) Функции
Радемахера в таблице показаны в форме:
Следующим
распространенным способом упорядочения
является упорядочение по Адамару.
Функции Адамара har(h,x)
формируют с помощью матриц Адамара.
Матрицей Адамара H N
порядка N=2 n
называется квадратная матрица с размерами
NxN
и элементами 1,
обладающая свойством Например
начиная с Н 1 =1
находим: Сравнивая
полученную матрицу Н 8
с матрицей отсчетов для функции Уолша,
Упорядоченных по Уолшу (рисунок 17.1б)
видим, что между первыми восемью функциями
упорядоченными по Уолшу и Адамару
существует следующее соответствие: и
может служить базисом для спектрального
представления сигналов. Любую интегрируемую
на интервале 0х1
функцию являющуюся математической
моделью электрического сигнала, можно
представить рядом Фурье по системе
функций Уолша где
Функции
Уолша, как и функции Радемахера, принимают
только два значения: -1 и 1. Для любого m
– wal 2 (m,x)=wal(0,x)=1. Функции Уолша
являются периодическими функциями с
периодом равным 1. Функции Уолша
обладают свойством мультипликативности,
перемножение любых двух функций Уолша
является также функцией Уолша: Среднее
значение функции Уолша wal(i,x),
при i0
равно нулю. Система функций
Уолша является составной системой и
сотоит из четных и нечетных функций,
обозначаемых соответственно: Относительная
погрешность аппроксимации сигнала
f(x)
конечным числом функций Уолша определяется
по формуле где
Вопросы для
самостоятельной подготовки
Найдите
выражения для функций Уолша через
функции Радемахера wal(7,x),
wal(9,x),
wal(13,x)
при упорядочении по Уолшу, Пэли и
Адамару. Перечислите и
объясните основные свойства функций
Уолша. Разложите
в ряд Уолша, ограничиваясь первыми
восемью функциями Уолша функций sinx
,
cosx
и постройте их. Охарактеризуйте
достоинства и недостатки каждого из
рассмотренных способов упорядочения
функций Уолша. Рассчитайте
значения первых 8 коэффициентов
разложения в ряд Фурье – Уолша следующих
сигналов:
показатель степени функции Радемахера,
который принимает значение 0 или 1 в
результате суммирования по модулю два,
т.е. по правилу: 11=00=0;
10=01=1
разрядов двоичного числа w
.
Например для шестой функции Уолша (w
=6),
входящей в систему размером N=2 3 =8
произведение (17.4) состоит из трех
сомножителей вида: при k=1
при
k=2
при k=3
.
Число в двоичной системе записывается
совокупностью нулей и единиц. В нашем
случае значение w
и его разрядов показаны в таблице 17.1
;
;
и следовательно,
.
Сравнение произведений и степеней
функций Радемахера, записанных в
таблицах 17.1 и 17.2 показывает., что между
функциями Уолша, упорядоченными по Пэли
и по Уолшу существует соответствие,
которое отражено в последнем столбце
таблицы 17.2. В соответсвии с функциями
Уолша упорядоченными по Пэли также
может быть построена матрица отсчетов
H p (n),
аналогичная показанной на рисунке
17.1б.
- безразмерное время, нормированное к
произвольному интервалу Т.
- энергия сигнала на единичном нормированном
интервале.
