Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. На рис. 12.9 показана колонна, на которую опирается балка перекрытия. Как видно, сила действует по отношению к оси колонны с эксцентриситетом е, и таким образом, в произвольном сечении а-а колонны наряду с продольной силой N = -Р возникает изгибающий момент, величина которого равна Ре. Внецентренное растяжение (сжатие) стержня представляет такой вид деформирования, при котором равнодействующие внешних сил действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. В дальнейшем будем рассматривать главным образом задачи внецентренного сжатия. При внецентренном растяжении во всех приводимых расчетных формулах следует изменить знак перед силой Р на противоположный.
Пусть стержень произвольного поперечного сечения (рис. 12.10) нагружен на торце внецентренно приложенной сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох. Примем положительные
направления главных осей инерции сечения Оу и Oz таким образом, чтобы точка приложения силы Р находилась в первой четверти осей координат. Обозначим координаты точки приложения силы Р через у р и z P -
Внутренние усилия в произвольном сечении стержня равны
Знаки минус у изгибающих моментов обусловлены тем, что в первой четверти осей координат эти моменты вызывают сжатие. Величины внутренних усилий в данном примере не изменяются по длине стержня, и таким образом, распределение напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставляя (12.11) в (12.1), получим формулу для нормальных напряжений при внецентренном сжатии:
Эту формулу можно преобразовать к виду
где i , i- главные радиусы инерции сечения. При этом
Положив в (12.12) о = 0, получим уравнение нулевой линии:
Здесь у 0 и z 0 - координаты точек нулевой линии (рис. 12.11). Уравнение (12.14) является уравнением прямой, не проходящей через центр тяжести сечения. Чтобы провести нулевую линию, найдем точки ее пересечения с осями координат. Полагая в (12.14) последовательно у 0 = 0 и z 0 = 0, соответственно найдем
где a z и а у - отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат (рис. 12.11).
Установим особенности положения нулевой линии при вне- центренном сжатии.
- 1. Из формул (12.15) следует, что а у и a z имеют знаки, противоположные знакам соответственно у р и z P - Таким образом, нулевая линия проходит через те четверти осей координат, которые не содержат точку приложения силы (рис. 12.12).
- 2. С приближением точки приложения силы Р по прямой к центру тяжести сечения координаты этой точки у р и z P уменьшаются. Из (12.15) следует, что при этом абсолютные значения длин отрезков а у и a z увеличиваются, то есть нулевая линия удаляется от центра тяжести, оставаясь параллельной самой себе (рис. 12.13). В пределе при Z P = y P = 0 (сила приложена в центре тяжести) нулевая линия удаляется в бесконечность. В этом случае в сечении напряжения будут постоянными и равными о = -P/F.
- 3. Если точка приложения силы Р находится на одной из главных осей, нулевая линия параллельна другой оси. Действительно, положив в (12.15), например, у р = 0, получим, что а у = то есть нулевая линия не пересекает ось Оу (рис. 12.14).
- 4. Если точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести, то нулевая линия поворачивается вокруг некоторой точки. Докажем это свойство. Точкам приложения сил Р х и Р 2 , расположенным на осях координат, соответствуют нулевые линии 1 - 1 и 2-2, параллельные осям (рис. 12.15), которые пересекаются в точке D. Так как эта точка принадлежит двум нулевым линиям, то напряжения в этой точке от одновременно приложенных сил Р х и Р 2 будут равны нулю. Поскольку любую силу Р 3 , точка приложения которой расположена на прямой Р { Р 2 , можно
разложить на две параллельные составляющие, приложенные в точках Pj и Р 2 , то отсюда следует, что напряжения в точке D от действия силы Р 3 также равны нулю. Таким образом, нулевая линия 3-3, соответствующая силе Р 3 , проходит через точку D.
Другими словами, множеству точек Р, расположенных на прямой Р { Р 2 , соответствует пучок прямых, проходящих, через точку D. Справедливо и обратное утверждение: при вращении нулевой линии вокруг некоторой точки точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести.
Если нулевая линия пересекает сечение, то она делит его на зоны сжатия и растяжения. Так же как и при косом изгибе, из гипотезы плоских сечений следует, что напряжения достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Характер эпюры напряжений в этом случае показан на рис. 12.16, а.
Если нулевая линия расположена вне сечения, то во всех точках сечения напряжения будут одного знака (рис. 12.16, б).
Пример 12.3.
Построим эпюру нормальных напряжений в произвольном сечении внецентренно сжатой колонны прямоугольного сечения с размерами b
х h
(рис. 12.17). Квадраты радиусов инерции сечения согласно (12.22) равны
Отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат, определяются по формулам (12.15):
Подставляя последовательно в (12.12) координаты наиболее удаленных от нулевой линии точек С и В (рис. 12.18)
найдем
Эпюра о показана на рис. 12.18. Наибольшие сжимающие напряжения по абсолютной величине в четыре раза превосходят значения напряжений, которые были бы в случае центрального приложения силы. Кроме того, в сечении появились значительные растягивающие напряжения. Заметим, что из (12.12) следует, что в центре тяжести (у = z = 0) напряжения равны о = -P/F.
Пример 12.4. Полоса с вырезом нагружена растягивающей силой Р (рис. 12.19, а). Сравним напряжения в сечении ЛВ, достаточно удаленном от торца и места выреза, с напряжениями в сечении CD в месте выреза.
В сечении АВ (рис. 12.19, б) сила Р вызывает центральное растяжение и напряжения равны а = P/F = P/bh.
В сечении CD (рис. 12.19, в) линия действия силы Р не проходит через центр тяжести сечения, и поэтому возникает внецентренное растяжение. Изменив знак в формуле (12.12) на противоположный и приняв у р = 0, получим для этого сечения
Принимая
Нулевая линия в сечении CD параллельна оси Оу и пересекает ось Oz на расстоянии а = -i 2 y /z P - Ь/ 12. В наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения C(z - -Ь/ 4) и D(z - Ь/ 4) напряжения согласно (12.16) равны
Эпюры нормальных напряжений для сечений ЛВ и CD показаны на рис. 12.19, б, в.
Таким образом, несмотря на то что сечение CD имеет площадь в два раза меньшую, чем сечение АВ, за счет внецентренного приложения силы растягивающие напряжения в ослабленном сечении возрастают не в два, а в восемь раз. Кроме того, в этом сечении появляются значительные по величине сжимающие напряжения.
Следует заметить, что в приведенном расчете не учитываются дополнительные местные напряжения, возникающие вблизи точки С из-за наличия выточки. Эти напряжения зависят от радиуса выточки (с уменьшением радиуса они увеличиваются) и могут значительно превысить по величине найденное значение а с = 8P/bh. При этом характер эпюры напряжений вблизи точки С будет существенно отличаться от линейного. Определение местных напряжений (концентрация напряжений) рассматривается в главе 18.
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка и др.) плохо сопротивляются растяжению. Их прочность на растяжение во много раз меньше, чем на сжатие. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов нежелательно появление растягивающих напряжений. Чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы нулевая линия находилась вне сечения. В противном случае нулевая линия пересечет сечение и в нем появятся растягивающие напряжения. Если нулевая линия является касательной к контуру сечения, то соответствующее положение точки приложения силы является предельным. В соответствии со свойством 2 нулевой линии, если точка приложения силы будет приближаться к центру тяжести сечения, нулевая линия будет удаляться от него. Геометрическое место предельных точек, соответствующих различным касательным к контуру сечения, является границей ядра сечения. Ядром сечения называется выпуклая область вокруг центра тяжести, обладающая следующим свойством: если точка приложения силы находится внутри или на границе этой области, то во всех точках сечения напряжения имеют один знак. Ядро сечения является выпуклой фигурой, поскольку нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его.
Через точку А (рис. 12.20) можно провести бесчисленное множество касательных (нулевых линий); при этом только касательная АС является касательной к огибающей, и ей должна соответствовать определенная точка контура ядра сечения. В то же время, например, нельзя провести касательную к участку АВ контура сечения, поскольку она пересекает сечение.
Построим ядро сечения для прямоугольника (рис. 12.21). Для касательной 1 - 1 а 7 - Ь/ 2; а = . Из (12.15) находим для точки 1, соответствующей этой касательной, z P = -i 2 y / а 7 =-Ь/6; у р - 0. Для касательной 2-2 а у - к/ 2; а 7 =°°, и координаты точки 2 будут равны у р - -h/6; z P - 0. Согласно свойству 4 нулевой линии точки приложения силы, соответствующие различным касательным к правой нижней угловой точке сечения, расположены на прямой 1-2. Положение точек 3 и 4 определяется из условий симметрии. Таким образом, ядро сечения для прямоугольника представляет собой ромб с диагоналями Ь /3 и И/З .
Чтобы построить ядро сечения для круга, достаточно провести одну касательную (рис. 12.22). При этом а = R; а = °о.
"У У ^ ^
Учитывая, что для круга i у - J у /F - R /
4, из (12.15) получим
Таким образом, ядро сечения для круга представляет собой круг с радиусом R/4.
На рис. 12.23, а, 6 показаны ядра сечения для двутавра и швеллера. Наличие четырех угловых точек ядра сечения в каждом из этих примеров обусловлено тем, что огибающая контура и у двутавра и у швеллера является прямоугольником.
Для определения внутренних усилий, в поперечных сечениях бруса при внецентренном растяжении (сжатии) заменим заданную систему сил на статически эквивалентную систему других сил. На основании принципа Сен-Венана такая замена не вызовет изменений в условиях нагружения и деформации частей бруса, достаточно удаленных от места приложения сил.
Сначала перенесем точку приложения силы на ось и приложим в этой точке силу, равную силе, но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силу на оси, к ее действию необходимо добавить действие пары сил, отмеченных двумя чертами, или момент. Далее перенесем силу в центр тяжести сечения и в этой точке приложим силу, равную силе, но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силу в центре тяжести, к ее действию необходимо добавить еще одну пару сил, отмеченных крестиками, или момент.
Таким образом, действие силы, приложенной к сечению внецентренно, эквивалентно совместному действию центрально приложенной силы и двух внешних сосредоточенных моментов и.
Пользуясь методом сечений, нетрудно установить, что во всех поперечных сечениях внецентренно растянутого (сжатого) бруса действуют следующие внутренние силовые факторы: продольная сила и два изгибающих момента и (рис.3.3).
Напряжения в поперечных сечениях бруса определим, используя принцип независимости действия сил. От всех внутренних силовых факторов в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения. Знаки напряжений устанавливают по характеру деформаций: плюс - растяжение, минус - сжатие. Расставим знаки напряжений от каждого из внутренних силовых факторов в точках, пересечения осей и с контуром поперечного сечения (рис.3.3). От продольной силы во всех точках сечения одинаковы и положительны; от момента в точке напряжения - плюс, в точке - минус, в точках и, т.к. ось является в этом случае нейтральной линией; от момента в точке напряжения - плюс, в точке - минус, в точках и, т.к. ось в этом случае является нейтральной линией.
Полное напряжение в точке с координатами и, будет равно:
Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии. В связи с этим, большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.
Определение положения нейтральной линии
Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы (3.1), приравняв нормальные напряжения нулю
здесь и - координаты точки, лежащей на нейтральной линии.
Последнее выражение можно преобразовать, используя формулы для радиусов инерции: и. Тогда
Из уравнения (3.2) видно, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) - это прямая, не проходящая через начало координат (центр тяжести поперечного сечения).
Проведем эту прямую через две точки, лежащие на координатных осях (рис. 3.4). Пусть точка 1 лежит на оси, тогда ее координатами будет и, а точка 2 – на оси, тогда ее координатами будет и (на основании уравнения (3.2)).
Если координаты точки приложения силы (полюса) положительны, то координаты точек 1 и 2 отрицательны, и наоборот. Таким образом, полюс и нейтральная линия располагаются по разные стороны от начала координат.
Определения положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения, т.е. точки, в которых нормальные напряжения принимают наибольшие значения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными (рис. 3.4).
Условия прочности для опасных точек составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен брус. Так как хрупкий материал обладает различными свойствами в условиях растяжения и сжатия – плохо сопротивляется растяжению и хорошо сжатию, условия прочности составляют для двух точек: где действуют максимальные растягивающие (т.) и максимальные сжимающие (т.) напряжения (рис. 3.4)
Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растяжению и сжатию, составляют одно условие прочности для точки поперечного сечения, где имеют место максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения. В нашем случае такой точкой является точка, в которой действуют напряжения одного знака
Понятие о ядре сечения
При построении нейтральной линии (рис. 3.4) определялись координаты точек 1 и 2, через которые она и проводилась
Координаты точек, лежащих на нейтральной линии, зависят от положения точки приложения силы (полюса) с координатами. Если координаты полюса уменьшаются, т.е. полюс приближается к центру тяжести сечения, то увеличиваются, т.е. нейтральная линия может выйти за пределы сечения или касаться контура сечения. В этом случае в сечении будут иметь место напряжения одного знака.
Область приложения продольных сил, которые в этом случае вызывают в поперечном сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения .
Вопрос определения ядра сечения является наиболее актуальным для элементов конструкций из хрупкого материала, работающих на внецентренное сжатие, с целью получения в поперечном сечении только сжимающих напряжений, т.к. хрупкий материал плохо сопротивляется деформации растяжения. Для этого необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура, и вычислить координаты соответствующих точек приложения силы, по формулам, вытекающим из (3.5).
Геометрическое место рассчитанных таким образом точек и определит контур ядра сечения. На рис. 3.6 показаны примеры ядра сечения для распространенных форм.
Рассмотрим пример расчетов на внецентренное растяжение-сжатие.
Пример 3.1. Стальная полоса шириной =10 см и толщиной =1 см, центрально растянутая силами =70 кН, имеет прорезь шириной =3 см (рис. 3.6). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении, не учитывая концентрации напряжений. Какой ширины могла бы быть прорезь при той же величине растягивающего усилия, если бы она была расположена посередине ширины полосы?
Решение. При несимметричной прорези центр тяжести ослабленного сечения смещается от линии действия силы вправо и возникает внецентренное растяжение. Для определения положения центра тяжести () ослабленное сечение представим как большой прямоугольник размерами (фигура I) из которого удален малый прямоугольник с размерами (фигура II). За исходную ось примем ось.
В этом случае в поперечном сечении возникает два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент.
С целью определения опасной точки расставим знаки напряжений по боковым сторонам поперечного сечения (рис. 3.6). От продольной силы во всех точках сечения имеют место положительные (растягивающие) напряжения. От изгибающего момента слева от оси имеют место растягивающие напряжения (знак плюс), справа – сжимающие (знак минус).
Таким образом, максимальные нормальные напряжения возникают в т.
где - площадь ослабленного сечения, равная =7 см 2 ;
Момент инерции ослабленного сечения относительно главной центральной оси
Расстояние от нейтральной линии () до наиболее удаленной точки (т.)
В результате максимальные нормальные напряжения будут равны
При симметричной прорези шириной возникает только растяжение
Рассмотрим прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох. Равнодействующая этих сил F приложена в точке С. В локальной правосторонней системе координат yOz , совпадающей с главными центральными осями сечения, координаты точки С равны а и b (рис. 5.18).
Заменим приложенную нагрузку статически эквивалентной ей системой сил и моментов. Для этого перенесем равнодействующую силу F в центр тяжести сечения О и догрузим стержень двумя изгибающими моментами, равными произведению силы Т^на ее плечи относительно осей координат: M ff = Fa и M z = Fb.
Отметим, что по правилу правосторонней системы координат для точки С, лежащей в первой четверти, изгибающие моменты формально получат сле-
Рис. 5.18. Прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох
дующие знаки: М у = Fa и М 7 = -Fb. При этом в элементарной площадке, лежащей в первой четверти, оба момента вызывают растягивающее напряжение.
Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения в текущей точке сечения с координатами у и z от каждого силового фактора отдельно. Общее напряжение получим суммированием всех трех составляющих напряжений:
Определим положение нейтральной оси. Для этого в соответствии с формулой (5.69) приравняем к нулю значение нормального напряжения в текущей точке:
В результате простых преобразований получим уравнение нейтральной линии
где i y и i z - главные радиусы инерции , определяемые по формулам (3.14).
Таким образом, в случае внецентренного растяжения-сжатия нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения (рис. 5.19), на что указывает наличие в уравнении (5.70) отличающегося от нуля свободного члена.
Максимальные напряжения возникают в точках сечения А и В, наиболее удаленных от нейтральной линии. Установим соотношение между координатами точки приложения силы и положением нейтральной линии. Для этого определим точки пересечения этой линией координатных осей:
Рис. 5.19.
Полученные формулы показывают, что координата точки приложения силы а и координата точки пересечения нейтральной линией оси координат Oz (точка г 0) имеют противоположные знаки. То же самое можно сказать о величинах b и у 0 . Таким образом, точка приложения равнодействующей силы и нейтральная линия находятся по разные стороны относительно начала координат.
Согласно полученным формулам при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения нейтральная линия отдаляется от центральной зоны. В предельном случае (а = b = 0) приходим к случаю центрального растяжения-сжатия.
Представляет интерес определение зоны приложения силы, при котором напряжения в сечении будут иметь одинаковый знак. В частности, для материалов, плохо сопротивляющихся растяжению, сжимающую силу рационально прилагать именно в этой зоне, чтобы в сечении действовали только сжимающие напряжения. Такая зона вокруг центра тяжести сечения называется ядром сечения.
Если сила приложена в ядре сечения, то нейтральная линия не пересекает сечение. В случае приложения силы по границе ядра сечения нейтральная линия касается контура сечения. Для определения ядра сечения можно использовать формулу (5.71).
Если нейтральную линию представить как касательную к контуру сечения и рассмотреть все возможные положения касательной и соответствующие этим положениям точки приложения силы, то точки приложения силы очертят ядро сечения.
Рис. 5.20.
а - эллипс; 6 - прямоугольник
Внецентренное сжатие. Построение ядра сечения. Изгиб с кручением. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии.
Внецентренное сжатие – это вид деформации, при котором продольная сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При внецентренном сжатии , помимо продольной силы (N), возникают два изгибающих момента ( и ).
Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии.
Преобразуем формулу моментов при внецентренном сжатии , подставляя значения изгибающих моментов: .
Обозначим координаты некоторой точки нулевой линии при внецентренном сжатии , и подставим их в формулу нормальных напряжений при внецентренном сжатии. Учитывая, что напряжения в точках нулевой линии равны нулю, после сокращения на , получим уравнение нулевой линии при внецентренном сжатии: 
.
Нулевая линия при внецентренном сжатии и точка приложения нагрузки всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.
Отрезки, отсекаемые нулевой линией от осей координат, обозначенные и , легко найти из уравнения нулевой линии при внецентренном сжатии. Если сначала принять 
, а затем принять 
, то найдем точки пересечения нулевой линии при внецентренном сжатии с главными центральными осями:
Нулевая линия при внецентренном сжатии разделит поперечное сечение на две части. В одной части напряжения будут сжимающими, в другой – растягивающими. Расчет на прочность, как и в случае косого изгиба, проводят по нормальным напряжениям, возникающим в опасной точке поперечного сечения (наиболее удаленной от нулевой линии). 
Ядро сечения - малая область вокруг центра тяжести поперечного сечения, характерная тем, что любая сжимающая продольная сила, приложенная внутри ядра, вызывает во всех точках поперечного сечения сжимающие напряжения.
Примеры ядра сечения для прямоугольного и круглого поперечных сечений стержня.
Изгиб с кручением. Такому нагружению (одновременному действию крутящих и изгибающих моментов) часто подвержены валы машин и механизмов. Для расчета бруса необходимо прежде всего установить опасные сечения. Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов.
Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения, возникающие в брусе отдельно для кручения, и для изгиба.
При кручении в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения 
При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса 
.
Пример.
Для заданной схемы нагружения стержня (рис.52) построить эпюры поперечной силы Q y (z) и изгибающего момента M x (z) при следующих исходных данных: L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН/м, l = 1 м.
Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента:
Q y (z) = Q y (0) │ 1 – P - q×(z - l) │ 2
M x (z) = M x (0) + Q y (0)×z│ 1 - P×(z - l) - q×(z - l) 2 /2│ 2
В соответствии с условиями закрепления стержня запишем граничные условия в следующем виде: M x (0) = - L,
Для нахождения неизвестной реакции Q y (0) необходимо приравнять уравнение изгибающего момента к нулю при координате z = 3l:
M x (3l) = M x (0) + Q y (0)×3l - P×(3l - l) - q×(3l - l) 2 /2 = 0.
Решая это уравнение относительно Q y (0), получим Q y (0) = 21.67кН.
Теперь, учитывая найденные константы, уравнения интегральных характеристик можно переписать в следующем виде:
Q y (z) = 21.67│ 1 – P – q×(z - l) │ 2
M x (z) = -L + 21.67z│ 1 – P×(z - l) – q×(z - l) 2 /2│ 2
Построение графиков будем производить аналогично примеру 1.
1 участок 0 ≤ z ≤ l:
Q y (0) = 21.67 кН,
Q y (l) = 21.67 кН,
M x (0) = -5 кНм,
M x (l) = -5 + 21.67*1 = 16.67 кНм.
2 участок l ≤ z ≤ 3l:
Q y (l) = 21.67 – 10 = 11.67 кН,
Q y (3l) = 21.67 – 10 – 20*(3 - 1) = -28.33 кН,
M x (l) = -5 + 21.67*1 – 10(1 – 1) – 20(1 – 1) = 16.67 кНм,
M x (3l) = -5 + 21.67*3 – 10(3 – 1) – 20(3 – 1) =0 кНм.
Определим координаты экстремума и значения функции изгибающего момента в экстремальной точке:
Q y (z1) = 21.67 – P – q (z1 - l) = 0 → z1 = 1.58 м.
M x (1.58) = -L + 21.67·1.58 – P (1.58 - l) – q (1.58 - l) 2 /2 = 20.07 кНм.
По рассчитанным значениям строятся графики поперечной силы и изгибающего момента (рис. 52).
При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси z и остается ей параллельной (рис.53).
Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении координаты (х 0 , у 0). Тогда относительно главных осей равнодействующая сила Р дает моменты:
М х = Р×у 0 ,
М у = - Р×х 0 .
Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие оказывается родственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникают не только изгибающие моменты, но и нормальная сила:
В произвольной точке В с координатами (х, у) нормальное напряжение определяется следующим выражением:
Пространственная эпюра напряжений образует плоскость. Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая напряжения нулю:
При внецентренном растяжении-сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. При положительных х 0 и у 0 по крайней мере одна из величин х или у, входящих в уравнение (100), должна быть отрицательной. Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом квадранте, то нейтральная линия проходит с противоположенной стороны центра тяжести через квадранты 2,3 и 4 (рис.54).
Расстояние от начала координат до некоторой прямой
как известно из курса аналитической геометрии, равно
Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.
В пределе при х 0 =у 0 =0, когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности. Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно.
Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находится за его пределами. В первом случае в сечении возникают и растягивающие и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.
В окрестностях центра тяжести существует область, называемая ядром сечения . Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так и растягивающими. Когда точка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро сечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг сечения. Точка приложения силы вычертит при этом контуры ядра.
Основные понятия и определения…………………………………………………
Физическая и математическая модель…………………………………………….
Геометрические характеристики сечения…………………………………………
Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей………………………………………………………………….
Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей…
Геометрические характеристики сложных сечений………………………………
Метод сечений. Внутренние силы…………………………………………………
Напряжение. Напряженное состояние в точке тела………………………………
Интегральные характеристики напряжений в точке……………………………..
Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения……………………
Закон парности касательных напряжений………………………………………...
Напряжения на наклонных площадках……………………………………………
Главные площадки и главные напряжения……………………………………….
Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора…..
Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения………………..
Математическая модель механики твердо деформируемого тела………………
Деформированное состояние тела…………………………………………………
Касательные напряжения при кручении………………………………………….
Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского……………………
Теории (гипотезы) прочности………………………………………………………
Растяжение (сжатие) стержней……………………………………………………..
Кручение стержней………………………………………………………………….
Изгиб стержней………………………………………………………………………
Внецентренное растяжение и сжатие………………………………………………
ЛИТЕРАТУРА
1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Наука., 1998. – 512 с.
2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Высш.шк., 1995. – 560 с.
3. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев.: Наукова думка, 1988. – 736 с.
4. Расчет прямых стержней на прочность. Метод.указания. С.А.Девятов, З.Н.Соколовский, Е.П.Степанова.2001.76с.
